引 言
        太陽電池陣通常由若干帆板組成, 由于折疊與展開的需要, 帆板之間由鉸鏈副連接。太陽電池陣的模態(tài)分析計算是航天器設(shè)計中的重要環(huán)節(jié)。而鉸鏈副是一個可活動的部件, 存在間隙、滑移和彈性接觸諸因素。盡管各帆板容易建立較為精確的有限元模型,鉸鏈副的剛度參數(shù)卻難以確定, 給太陽電池陣的建模和分析計算造成很大困難。本文以真實鉸鏈副連接的有機(jī)玻璃帆板模型的試驗?zāi)B(tài)參數(shù)為基礎(chǔ), 將單個鉸鏈簡化為兩端結(jié)點各有6 個自由度的彈簧連接元,應(yīng)用特征方程反問題的直接方法[ 1] 辨識彈簧連接元的單元剛度矩陣。進(jìn)行太陽電池陣模態(tài)計算時, 只要將本文辨識得到的連接元剛度矩陣按一般形成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的方法, 直接與各帆板子結(jié)構(gòu)有限元剛度矩陣疊加, 即可進(jìn)行特征值計算。
        1 計算方法和公式
        1. 1 彈簧連接元及其單元剛度
        矩陣所示, 帆板R 和S 之間由板間鉸鏈副連接, 將單個鉸鏈副簡化為兩端各有一個6 自由度結(jié)點的連接元r- s, 其位移矢量為:
        { D} e = [ ur vr wr HurHvrHwrus vs ws HusHvsHws] T ( 1).
        作用在連接元兩端結(jié)點上的內(nèi)力矢量為:
        { P} e = [ purpvrpwrp Hur p Hvr p Hwr pus, p Hws ] T ( 2).
        假設(shè)連接元的構(gòu)造為長度等于l , 在中點l / 2 處斷開的剛性桿, 斷開處由3 個拉壓彈簧和3 個轉(zhuǎn)角彈簧分別連接對應(yīng)的6 對自由度。彈簧的剛度系數(shù)記為ku , kv ,kw , kHu, kHv , kHw。設(shè)上述彈簧為線性彈簧, 則結(jié)點內(nèi)力{ P}e 和結(jié)點位移{ D} e 有如下關(guān)系:
        {P } e = [ K ] e { D} e ( 3).
        式中[ K ]e 為連接元的單元剛度矩陣。顯然, 矩陣[ K ]e的第j 列元素應(yīng)等于{ D} e 中第j 個分量為1, 其余分量為0 時的內(nèi)力矢量{Pj } e。因此, 分別令{ D} e 中的某一分量為1, 其余分量為0, 列出位移方程和平衡方程, 即可以解出對應(yīng){ Pj }e, 即[ K ]e 的對應(yīng)各列元素。所得的連接元單元剛度矩陣如式( 4)。
        1. 2 模態(tài)疊加法
        估計不可測自由度振型對真實結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行模態(tài)實驗時, 通常只能測量結(jié)構(gòu)上部分節(jié)點的位移振型。轉(zhuǎn)角自由度以及連接界面上節(jié)點自由度的振型一般不可能測量, 需要利用計算模型上可測自由度的試驗振型來估計不可測自由度上的振型。
        首先采用1. 1節(jié)定義的彈簧連接元代替板間鉸鏈副, 建立的雙板有限元模型。依據(jù)模態(tài)試驗得到的固有頻率, 可由試湊法試算得到一組比較接近實際值的連接元剛度參數(shù)值, 代入上述雙板有限元模型作特征值計算, 得到初始結(jié)構(gòu)的前m 階模態(tài)數(shù)據(jù)。假設(shè)實際結(jié)構(gòu)的位移振型{ D} 為初始結(jié)構(gòu)前m階模態(tài)振型疊加, 即:{ D} = [ <] n@m{ q } m@ 1 ( 5).式中n ) 結(jié)構(gòu)總自由度;[ <] ) 前m 階模態(tài)振型矩陣;{ q} ) 前m 階模態(tài)的參與系數(shù)列陣。將[ <] 按不可測自由度與可測自由度分塊可得( 6)、( 7) 式。
        { DU} = [         式中下標(biāo)U 表示不可測自由度, M 表示可測自由度。顯然, 由方程( 7) 求解{ q } 后, 代入式( 6) 即可得不可測自由度振型{ DU} 。通常[         本文采用正交化方法求解[ 3] , 對[         解之可得參與系數(shù){ q } 。
        1. 3 界面內(nèi)力和連接元剛度參數(shù)計算
        由上述模態(tài)疊加法求解的不可測自由度振型{DU} 中, 包含了帆板R 和帆板S 與連接元連接的界面結(jié)點各自由度的振型分量{DB} r 和{DB} s 。
        當(dāng)雙板模型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)以某階固有頻率作簡諧振動時帆板R 子結(jié)構(gòu)的運動方程為[ K ] - X2[ M] r { D} r = { Q} r ( 10).式中[ K ] r、[ M] r ) 帆板R 子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣;{Q}r ) 連接元作用于界面節(jié)點上的內(nèi)力矢量。
        令 [ F ] r = [ K ] - X2[ M]- 1r ( 11).
        則方程( 10) 改寫為[ F ] r { Q} r = { D} r ( 12).
        將[ F] r 按待識別的界面自由度{ DB } r 和非待識別自由度{ DN } r 分塊并展開可得[ FBB] r{ QB} r + [ FBN ] r {QN } r = { DB } r ( 13).
        [ FNB ] r {QB } r + [ FNN ] r{ QN } r = { DN } r ( 14).
        式( 13) 中{QN } r 對應(yīng)于非界面自由度, 有{ QN } r = 0,則式( 13) 變?yōu)閇 FBB] r{ QB} r = { DB} r ( 15).
        解之可得子結(jié)構(gòu)界面上的內(nèi)力矢量{ QB } r 。
        對帆板S子結(jié)構(gòu)也存在同樣的方程, 只是下標(biāo)r 改為s , 可解得內(nèi)力矢量{QB } s ?？疾旆匠? 3) , 由于第i 個連接元的結(jié)點位移{ D} ei和內(nèi)力{P } ei 與子結(jié)構(gòu)R, S 得界面結(jié)點的位移和內(nèi)力有如下關(guān)系:
        { D} ei = [ { DB } r i ,{ DB} si ] T ( 16).{P } ei = [- { QB } r i ,- { QB } si ] T ( 17).
        代入方程( 3) 后可得關(guān)于連接元的彈簧剛度系數(shù)kj( j = ui vi wi Hui Hvi Hwi ) 的方程組, 整理可得kui= -QuBr i - QuBsi2( uri - usi )( 18).
        kvi= -QvBri - QvBsi2( vri - vsi ) + l ( Hwri + Hwsi )( 19).kwi= -Qw Br i-QwBsi2(wr i - ws i ) - l (Hvr i + Hvsi )( 20).
        kHui = -QHuBr i - QHuBsi2( Huri - Husi )( 21).
        kHvi = -QHvBri - QHvBsi2( Hvri - Hvsi )( 22).
        kHwi = -QHwBri - QHwBs i2( Hwri - Hwsi )( 23).
        1. 4 連接剛度參數(shù)迭代
        上述計算過程是以一組近似的連接元剛度參數(shù)初始結(jié)構(gòu)的有限元模型開始的, 顯然所得計算結(jié)果有較大誤差。為了保證辨識精度, 可采用迭代法。即將由式( 18) ) ( 23) 所得的連接元剛度參數(shù)作為第二次估值代替初始值, 形成新的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)有限元模型, 重新計算[ <] , { q } , { DB} , { QB} 和kj 的新的估值。如此反復(fù)迭代, 直到前后兩次結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率計算值之差滿足精度要求為止。實踐證明這個迭代過程收斂很快,一般進(jìn)行2 - 3 次迭代即可得到滿意的結(jié)果。
        2 工程應(yīng)用實例和結(jié)果分析
        某新型航天器太陽電池陣帆板以蜂窩夾心的碳纖維復(fù)合材料制作基板。由于暫時不能提供真實的帆板, 同時考慮到蜂窩夾心復(fù)合材料基板的構(gòu)造復(fù)雜, 材料性能散布范圍大, 難以建立精確的有限元模型, 不利于準(zhǔn)確辨識板間鉸鏈副的剛度參數(shù)。為此設(shè)計了尺寸為1m @ 1. 4m, 厚度為0. 026m 的有機(jī)玻璃板作為模態(tài)試驗的帆板模型。
        為保證單板有限元模型的精度, 除材料密度由實際結(jié)構(gòu)稱重后計算得到外, 進(jìn)行自由- 自由單板的模態(tài)試驗實測前6 階固有頻率后由有限元計算反推材料的彈性模量。用真實的板間鉸鏈副連接兩片有機(jī)玻璃帆板模型, 組成如圖2 計算模型的雙板試驗?zāi)Ｐ汀Ｓ孟鹉z緩沖繩懸掛模擬自由- 自由邊界條件, 測得雙板模型前8 階橫向彎曲振動和前3 階板面方向揮舞振動得固有頻率和振型作為原始數(shù)據(jù), 用本文方法辨識了簡化為彈簧連接元的板間鉸鏈由式( 4) 表示的單元剛度矩陣中的6 個剛度參數(shù)。辨識結(jié)果列于表1。
        辨識計算中考慮到太陽電池陣垂直于板面的橫向彎曲振動與板面方向的揮舞振動互相不耦合, 對應(yīng)剛度參數(shù)的辨識是分別進(jìn)行的。考慮到雙板模型結(jié)構(gòu)的對稱性, 則由式( 18)、( 22) 和( 23) 計算的剛度參數(shù)需由左右側(cè)板對稱運動的模態(tài)參數(shù)辨識, 而由式( 19) 、( 20) 和( 21) 計算的剛度參數(shù)則由反對稱運動的模態(tài)參數(shù)辨識。
        為驗證辨識結(jié)果精度, 將結(jié)果回代有限元模型計算模態(tài)參數(shù), 計算得到的板面方向揮舞振動的前3 階固有頻率與試驗值完全重合, 橫向彎曲振動的固有頻率與試驗值的比較見表2。計算振型與試驗振型也基本一致, 因篇幅限制不在文中列出。由表2 可見, 辨識結(jié)果回代計算得到的橫向彎曲前9 階固有頻率, 除第4 階模態(tài)屬于模態(tài)試驗遺漏的模態(tài)外, 其余各階模態(tài)計算結(jié)果與試驗值都比較接近,表明有較高的辨識精度和可信度。用同樣的方法辨識太陽電池陣的根部鉸鏈副剛度參數(shù), 也得到滿意的結(jié)果。